Кинематический способ определения огибающей семейства поверхностей

Частным случаем образования семейства поверхностей является движение одной неизменной поверхности, при котором она занимает ряд последовательных положений. В этом случае можно использовать кинематический способ определения огибающих поверхностей. Рассмотрим процесс шлифования плоскости цилиндрическим кругом (рис. 5.3). При обработке круг двигается относительно заготовки, его исходная цилиндрическая поверхность И занимает ряд последовательных положений, огибающая к которым будет обработанной поверхностью Д, т. е. плоскостью. Движение круга складывается из его вращения вокруг своей оси и прямолинейно-поступательного движения. В результате вращения исходная поверхность И скользит «сама по себе». Поэтому это движение при определении огибающей можно не учитывать, так как оно не влияет на последовательные положения поверхности И. Тогда скорости всех точек круга равны скорости v прямолинейно-поступательного движения. Рассмотрим точку М круга. Скорость этой точки разложим на направление нормали к исходной поверхности круга и касательной:

 

 

Кинематический способ определения огибающей семейства поверхностей

 

 

Кинематический способ определения огибающей семейства поверхностей

 

В результате движения со скоростью vτ окрестность точки М исходной поверхности скользит «сама по себе». При движении же со скоростью vп окрестность точки М
внедряется в материал заготовки и его срезает. В точке же А поверхности круга нормаль N также не перпендикулярна к скорости v. Но в этой же зоне окрестность
точки А перемещается внутрь круга со скоростью дп и отходит от заготовки. Эта зона не будет срезать материал заготовки. В точке В круга нормаль N перпендикулярна к скорости v. Составляющая скорости по нормали vn = 0. В результате окрестность точки В поверхности круга скользит «сама по себе» и не внедряется ни в материал
заготовки, ни в материал круга. Точка В будет точкой контакта сопряженных поверхностей круга И и обработанной поверхности Д дикулярности векторов N и v. Это условие контакта справедливо и в общем случае. Оно определяет точки контакта сопряженных поверхностей. Взятые в определенный момент времени точки контакта определяют характеристику — линию соприкосновения сопряженных поверхностей. Совокупность характеристик, определенных в различные моменты времени, в системе координат, связанной с инструментом, дает исходную инструментальную поверхность, а совокупность характеристик в системе координат, связанной с заготовкой, дает обработанную поверхность детали.

Уравнение контакта N * v = 0 можно вывести аналитически. Пусть в системе хуz, связанной с деталью, задано уравнение поверхности Д : F {хуz) = 0.

Поверхность Д вместе с системой хуz двигается в системе х0у0г0. Будем считать, что положение системы хуz в системе х0у0г0 определяется одним параметром t. Запишем формулы преобразования в общем виде:

 

 

Кинематический способ определения огибающей семейства поверхностей

 

 

Тогда уравнения семейства поверхностей Д в системе х0у0z0 можно записать таким образом:

 

 

Кинематический способ определения огибающей семейства поверхностей

 

 

Частная производная этой сложной функции

 

 

Кинематический способ определения огибающей семейства поверхностей

 

 

Частные производные

 

 

Кинематический способ определения огибающей семейства поверхностей

 

 

Уравнение контакта N • v= 0 означает, что в точках контакта сопряженных поверхностей общая нормаль N перпендикулярна к скорости относительного движения v.

Поверхность F{xyz) = 0 может совершать сложное относительное движение. В этом случае скорости точек поверхности определяются как сумма скоростей составляющих движений: v=vl+v2i т. е. уравнение контакта будет N * v1 +   N * v2 = 0.

В одном из составляющих движений поверхность F{xyz) = 0 может скользить «сама по себе». Это движение со скоростью, например v2, можно не учитывать, так как N * v2 = 0. Тогда уравнение контакта N • v1 = 0.

Итак, если известная поверхность Д двигается и образует огибающую поверхность И, то характеристику можно определить как линию, в каждой точке которой вектор относительной скорости направлен по касательной к поверхности Д.

Рассмотрим пример определения поверхности, которая создается плоским торцом И шлифовального круга (рис. 5.4) при его винтовом движении. Параметр винтового движения пусть будет р, а угол, составляемый плоскостью И с осью винтового движения у, равен φ, С плоскостью И свяжем систему координат xyz, ось х расположим в плоскости И. Выберем также неподвижную систему координат x0y0z0. В системе xyz уравнение плоскости И будет

 

 

Кинематический способ определения огибающей семейства поверхностей

 

 

Кинематический способ определения огибающей семейства поверхностей

 

 

Взаимное расположение систем координат хуz и x0y0z0 в произвольный момент времени изображено на (рис. 5.4, б). Формулы преобразования координат в этом случае записываются таким образом:

 

 

Кинематический способ определения огибающей семейства поверхностей

 

 

В соответствии с формулами преобразования координат определяются частные производные:

 

 

Кинематический способ определения огибающей семейства поверхностей

 

 

Кинематический способ определения огибающей семейства поверхностей

 

 

Тогда уравнение контакта N • v = 0 будет иметь вид

 

 

Кинематический способ определения огибающей семейства поверхностей

 

 

Таким образом, характеристикой будет прямая, расположенная на линии пересечения плоскости И (z = y tg φ) и плоскости х = = —p tg φ). Она параллельна плоскости zy и отстоит от нее на расстоянии р tg φ Ее положение не зависит от угла ε. Она занимает неизменное положение в системе xyz. По формулам преобразования координаты этой прямой в системе x0y0z0 таковы:

 

 

Кинематический способ определения огибающей семейства поверхностей

 

 

Эти уравнения выражают искомую огибающую винтовую поверхность Д.

Рассмотрим сечение у0 = 0 = у + рε. Отсюда у = — рε.

Тогда

 

 

Кинематический способ определения огибающей семейства поверхностей

 

 

Эти уравнения являются уравнениями эвольвенты окружности с радиусом основной окружности r0 = р tg φ.

Таким образом, при винтовом движении плоскости И создается огибающая эвольвентная винтовая поверхность, параметр которой равен p, а радиус основного цилиндра r0 = р tg φ.

Решение рассматриваемой задачи можно упростить разложением винтового движения на составляющие (рис. 5.4, в). Винтовое движение плоскости И будем рассматривать как совокупность прямолинейно-поступательного движения со скоростью v вдоль оси у0 и вращения вокруг этой оси с угловой скоростью со. Поскольку при нахождении характеристики важно направление скорости относительного движения, а не ее величина, можно принять длину вектора ω = 1. Тогда

ω = j, a v = jp. Поступательное движение со скоростью v разложим на два движения: v = v1-\-v2. Скорость v1 прямолинейно-поступательного движения направим по линии пересечения плоскости И и плоскости zy, а скорость v2 — по оси гг. Движение со скоростью v1 приводит к скольжению плоскости И «самой по себе», поэтому его можно не учитывать. Длина вектора v2 будет равна v2= v tgφ.

Поступательное движение со скоростью v2 представим как пару вращения с угловыми скоростями ω2 и —ω2 и расстоянием между ними I. Тогда справедливо соотношение v2 = ω2l.

 

 

Длину вектора ω2 можно выбирать произвольно и соответственно определять расстояние l. Примем ω2 = ω. Тогда

 

 

Кинематический способ определения огибающей семейства поверхностей

 

 

Таким образом, движение плоскости И сведено к трем вращениям с угловыми скоростями ω , ω2 и -ω2.Но два вращения с угловыми скоростями ω и ω2 взаимно компенсируют друг друга, так как векторы угловых скоростей направлены в противоположные стороны и их длины равны. Следовательно, при определении характеристики можно рассматривать только вращение ω2 плоскости И вокруг оси, расположенной в плоскости ху и отстоящей от оси у на расстоянии l = p tgφ. Тогда характеристикой будет прямая Е пересечения плоскости с плоскостью х = —p tgφ, в которой лежит вектор ω2. Скорость любой точки прямой Е при ее вращении с угловой скоростью ω2 будет лежать в плоскости И, т. е. на прямой Е будет соблюдаться условие контакта N * v = 0 или условие перпендикулярности векторов N и v, В результате заданного винтового движения характеристики Е образуется эвольвентная винтовая поверхность, которая является огибающей плоскости при ее винтовом движении с параметром р. При этом линия Е (рис. 5.4, г) всегда касается основного цилиндра радиуса r0 = p tgφ. Точка касания на основном цилиндре образует винтовую линию, угол ω0 наклона которой определяют по формуле tgω0 = r0/p = tgφ). Поэтому, если взять плоскость А, касательную к основному цилиндру, и в ней прямую Et составляющую угол φ с осью, то при качении без скольжения плоскости А по основному цилиндру прямая Е опишет в пространстве рассматриваемую эвольвентную винтовую поверхность.

 

 

Смотрите также