Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

Пусть в системе координат xyz семейство поверхностей, зависящее от одного параметра t, записывается уравнением в неявной форме вида F (xyzt) = 0. Как известно из дифференциальной геометрии, огибающая этого семейства поверхностей, если она существует, выражается уравнениями

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

Соответственно для семейства плоских кривых F (x, у, t) = 0 огибающая будет выражаться уравнениями

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

Рассмотрим пример определения огибающей семейства кривых, заданного уравнением у3 — (х — t)2 = 0.

Огибающей этого семейства будет кривая, определяемая уравнениями

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

Исключив параметр t, получим у3 = 0.

Таким образом получили ось х, с которой соприкасаются кривые рассматриваемого семейства (рис. 5.1, а). В данном случае наблюдается кромочное соприкосновение оси х и кривых семейства, которые

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

образуются в результате движения кривой у3 = х2 вдоль оси х. Если изготовить шлифовальный круг с профилем, выполненным по рассматриваемой кривой, то им можно будет обработать прямую, совпадающую с осью х. Однако такой инструмент быстро изнашивается и практически неработоспособен. Образовать же прямой х кривую у3 = х3 невозможно, так как она при рассматриваемых движениях соприкасается только с одной точкой возврата.

Однопараметрическое семейство поверхностей может быть задано параметрическими уравнениями вида

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

Огибающая рассматриваемого семейства

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

При задании семейства поверхностей векторным уравнением огибающая определяется системой уравнений

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

Для семейства плоских кривых, уравнение которых задано параметрически х = f1 (ut) и у = f2 (ut), огибающая определится системой следующих уравнений:

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

Найдем огибающую семейства поверхностей, заданного параметрическими уравнениями

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

В этих уравнениях с, t и µ  — переменные величины, а р — постоянная. Определитель, составленный из частных производных, будет

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

Раскрывая определитель, после преобразований получим

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

Тогда уравнения огибающей поверхности в параметрической форме будут

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

Возведя первое и третье равенства в квадрат и подставив вместо с его значение, определенное из второго равенства, получим

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

Таким образом, получили уравнение огибающей поверхности, являющейся конической поверхностью, осью которой служит ось у. Угол при вершине, расположенной в начале координат, равен 2р (рис. 5.1, б). В рассматриваемом примере семейство поверхностей является семейством шаров, центры которых располагаются на оси у, радиус R которых увеличивается пропорционально расстоянию с от начала координат до центра шара и равен R = с sin р.

Рассмотрим пример определения огибающей при прямолинейнопоступательном движении конической поверхности со скоростью v, направленной под углом к оси круга (рис. 5.2, о). Введем следующие системы координат:

хуz — система, связанная с конической поверхностью, с осью z, идущей по ее оси;

x1y1z1— система, связанная с конической поверхностью, с осью z1, идущей параллельно скорости v поступательного движения;

х0y0z0 — неподвижная система координат, оси которой идут параллельно соответствующим осям системы х1у1z1.

В системе хуz уравнение конической поверхности в параметрической форме выразится так:

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

Формулы перехода от системы хуz к системе х0у0z0:

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

Уравнения семейства конусов в системе x0y0z0:

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

Частные производные рассматриваемых функций

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

Определитель, составленный из частных производных,

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

Раскрыв определитель и преобразовав, получим

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

Это соотношение определяет положение характеристики на поверхности конуса. Следовательно, уравнение огибающей поверхности определяется системой уравнений

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

Таким образом, координата z0 может принимать произвольное значение, а координаты х0 и у0 связаны зависимостью

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

Преобразовав это выражение, получим

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

Таким образом, отношение х00 является постоянной величиной. Следовательно, огибающая поверхность в рассматриваемом случае будет плоскостью Д, которая идет параллельно оси z0. Угол β между этой плоскостью и осью y0 находят по формуле

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

Переходя к cos β, получаем

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

Подобная задача решается при анализе способов заточки сверл двумя шлифовальными кругами, установленными на одной оси (рис. 5.2, б). При заточке шлифовальные круги, как обычно, вращаются вокруг своей оси. Затачиваемое сверло совершает возвратно-поступательные движения под углом к оси кругов. В этом случае шлифовальные круги, установленные на определенном расстоянии «6» друг относительно друга, обрабатывают две пересекающиеся плоскости. С этими двумя плоскостями совмещаются при установке затачиваемые задние плоскости сверла.

Требуемый угол р наклона плоскости Д зависит от углов р и е. Пусть угол ε = 90°, тогда cos β = sin р, следовательно, β = 90° — р, т. е. в этом случае профиль поверхности Д будет точно копировать профиль конической поверхности И.

Пусть ε = р, тогда cos β = 1; β = 0; sin µ = tg р ctg р = 1; µ = = 90°; х0 = 0; у0 = 0; z0 = с — l / cos р.

В данном случае профиль огибающей поверхности Д вырождается в точку с координатами х0 = 0 и y0 = 0. Таким образом, существуют такие сочетания углов р и в, при которых огибающей поверхности Д, сопряженной с конической поверхностью И, не существует. Предельными значениями cos р и sin µ могут быть ±1. Тогда ε = ±p. Отсюда область, в которой не существует огибающая поверхность Д,

 

 

сопряженная с конической поверхностью И при ее прямолинейно-поступательном движении, ограничивается значениями угла ε, лежащего в следующих пределах:

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

Семейство поверхностей может быть двухпараметрическим. В этом cлучае оно определяется уравнением

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

Огибающая рассматриваемого семейства определяется системой
уравнений

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

Семейство поверхностей может быть задано также параметрическими уравнениями:

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

Огибающая рассматриваемого семейства определяется системой уравнений

 

 

Общий аналитический способ определения огибающих поверхностей

 

 

Смотрите также