Основные виды движения поверхностей и их огибающие

Поверхности деталей относительно инструмента могут совершать самые разнообразные движения. Характерными движениями являются прямолинейно-поступательное, вращательное и винтовое. Рассмотрим прямолинейно-поступательное движение поверхности Д. В этом случае все точки поверхности имеют одну и ту же скорость v, направление которой в процессе движения не изменяется. Выберем неподвижную систему координат х0у0z0 так, чтобы ось х0 была параллельна скорости v. Рассмотрим плоское сечение z0 = const (рис. 5.5, а). Это сечение пересекается с поверхностью Д по кривой l, которая со скоростью v движется прямолинейно-поступательно. Точкой контакта на кривой l будет точка 2, в которой нормаль N перпендикулярна к скорости v и касательная 23 параллельна оси х0. При поступательном движении точка контакта 2 на кривой l не меняет своего положения и формирует прямую 23, которая является образующей огибающей поверхности. Совокупность таких образующих, расположенных в различных сечениях z0 = const, будет огибающей поверхностью. Таким

 

 

Основные виды движения поверхностей и их огибающие

 

 

Основные виды движения поверхностей и их огибающие

 

 

образом, при прямолинейно-поступательном движении произвольной поверхности Д огибающей будет цилиндрическая поверхность, образующие которой идут параллельно скорости v и касаются поверхности Д. В этом случае характеристика на поверхности Д не меняет своего положения. Поскольку скорость v идет параллельно оси х0, уравнение контакта N • v = 0 приводится к виду Nx = 0, т. е. проекция нормали на ось х0 в точке контакта равна нулю, а касательная кривой l идет параллельно оси х0. Следовательно, характеристика на поверхности Д находится как такая линия Е, в которой соблюдается условие dy0 / dx0 = 0. Например, определим огибающую при прямолинейно-поступательном движении конической поверхности (рис. 5.6). Рассмотрим произвольное плоское сечение 1, перпендикулярное к оси конической поверхности. В сечении 1 конуса образуется окружность радиуса R. Если в каждой точке этой окружности провести нормали к конической поверхности, то получим дополнительный конус нормалей. Ось конуса нормалей совпадает с осью конической поверхности, а вершиной является точка К. Через вершину К конуса нормалей проведем плоское сечение П, перпендикулярное к скорости v. Сечение П пересекается с конусом по нормали КВ. Следовательно, в точке В нормаль к конической поверхности КВ перпендикулярна к скорости v, т. е. соблюдается условие контакта N • v = 0.

 

 

Основные виды движения поверхностей и их огибающие

 

 

Следовательно, sin µ = tg р ctg ε. Эта формула была получена ранее при аналитическом решении рассматриваемой задачи. Угол β определяется из ∆ А3В3О3 по формуле

 

 

Основные виды движения поверхностей и их огибающие

 

 

По построению А303 = B1P1. Проецируя замкнутую ломаную линию OC1B1PO на направление В1Р1, получим

 

 

Основные виды движения поверхностей и их огибающие

 

 

Это соотношение было получено ранее другим путем. Если считать, что сечение 1 является крайним сечением реальной конической поверхности шлифовального круга, то величина Д, равная половине максимального расстояния б между двумя кругами, расположенными на одной оси, при котором обеспечивается перекрытие шлифованных поверхностей Д

 

 

Основные виды движения поверхностей и их огибающие

 

 

Основные виды движения поверхностей и их огибающие

 

 

Если два шлифовальных круга, установленные на одной оси, имеют разные углы при вершине, то максимальное расстояние 6, при котором обеспечивается перекрытие огибающих поверхностей Д, рассчитывается по формуле

 

 

Основные виды движения поверхностей и их огибающие

 

 

Рассмотрим вращательное движение поверхности Д вокруг неподвижной оси. Выберем неподвижную систему координат х0y0z0 так, чтобы ось z0 совпадала с осью вращения. В любой точке поверхности Д скорость v будет перпендикулярна к плоскости Р, проходящей через рассматриваемую точку и ось вращения. В точках характеристики скорость v должна быть перпендикулярна к вектору нормали N. Поэтому в точках характеристики нормаль N к поверхности Д должна лежать в плоскости Р. Следовательно, нормаль N пересекает ось вращения z0. Таким образом, при относительном вращательном движении в точках контакта сопряженных поверхностей общая нормаль проходит через ось вращения. Иными словами, характеристика Е является ортогональной проекцией оси вращения на поверхность Д. Ось вращения относительно поверхности Д не меняет своего положения. Поэтому характеристика Е будет постоянной линией на поверхности Д. При вращении характеристики Е образуется огибающая поверхность вращения.

Условие контакта в случае вращательного движения профиля 1 в плоскости вокруг полюса р сводится к известному свойству общих нормалей (рис. 5,5, б). При вращении профиля 1 вокруг точки р скорость v произвольной точки М перпендикулярна к радиусу рМ. Чтобы соблюдалось условие контакта N * V = 0 и нормаль N была перпендикулярна к скорости v, нормаль в точке контакта К должна совпадать с радиусом рК. Отсюда следует, что при вращательном движении в точках контакта сопряженных профилей общая нормаль проходит через центр (полюс) вращения. Это свойство общих нормалей широко используется при профилировании режущих инструментов и объясняется тем, что произвольное движение профиля в плоскости можно рассматривать как последовательность мгновенных вращений вокруг соответствующих полюсов.

Рассмотрим винтовое движение поверхности Д. Считаем, что ось х винтового движения неподвижна, а его параметр равен р. Возьмем произвольную прямую АВ. Примем, что при винтовом движении скорость vA точки А перпендикулярна к прямой АВ. Тогда при определении скорости движение произвольной точки В можно рассматривать как результат поступательного движения прямой со скоростью vA и вращательного движения точки В Еокруг А со скоростью vAB. Учитывая, что vA и vAB перпендикулярны к АВ, то и скорость vB точки В также перпендикулярна к АВ. Таким образом, если при винтовом движении прямой АВ есть точка на ней, в которой скорость идет перпендикулярно к прямой АВ, то во всех других точках прямой АВ скорости будут также перпендикулярны к ней. При винтовом движении произвольная точка пространства описывает винтовую линию МА (рис. 5.5, в), скорость vм точки М составляет с осью винта угол τ, равный  tg τ = ωr/v = r/p.

В соприкасающейся плоскости к винтовой линии МА проведем перпендикулярную к скорости vм прямую МВ, которая с осью винта составляет угол ε = 90° — τ. Следовательно, tg ε = p/r. Поэтому если прямая МВ является нормалью к поверхности Д детали в точке С, то точка С будет точкой характеристики, так как в этой точке нормаль К поверхности Д перпендикулярна- к скорости vc точки С. Следовательно, если произвольная поверхность Д совершает винтовое движение, то характеристику Е можно определить как совокупность точек на поверхности Д, в которых нормаль к поверхности Д составляет угол ε с осью винтового движения. Угол г подсчитывается по формуле

 

 

Основные виды движения поверхностей и их огибающие

 

 

Ось винтового движения не меняет своего расположения относительно поверхности Д. Поэтому характеристика Е остается неизменной. В результате ее винтового движения вместе с поверхностью Д образуется огибающая винтовая поверхность.

Рассмотрим пример определения характеристики при винтовом движении плоскости Д. Пусть ось винтового движения составляет угол φ с плоскостью Д. Тогда в любой точке плоскости Д нормаль составляет с осью винтового движения угол 90° — φ.

В точках характеристики имеем tg (90° — φ) = p/r , или r = р tg φ.

Следовательно, характеристика будет прямой, составляющей угол φ с осью винта и отстоящая от нее на расстоянии г. Этот же результат был получен ранее другим путем.

 

 

Смотрите также